【詳しく解説】1は素数ではない理由と判定方法!最大の素数も!

この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。

はじめに

何かと耳にすることが多い「素数」という言葉。
しかし、きちんと素数の意味を説明できない、なんてことはありませんか?
今回の記事では、「素数とは何か?」や新しい最大の素数、大学入試対策に必要な素数の判定法を解説していきます。
素数についての知識を私と一緒に整理してみましょう!

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素数の定義をサラッとおさらい!

まずは素数の定義を確認してみましょう!
定義の説明を文章だけで理解することは難しいので、最初は分からなくても大丈夫です!




【定義】
素数とは、

「1と、その数自身以外に正の約数がない自然数」

のことを言います。

ポイントが5つもあります。多すぎですね。だから理解するのが難しいのかもしれません。


まずは、「自然数」であること。

自然数の中の特殊な数字を素数と呼びます。


「じゃあ、何が特殊なんだ??」

ここが残りの4つのポイントを含みます。


素数の場合、「正の約数」が「1」と「その数自身」の「2つのみ」なんです。

この部分がとても特殊なんです!


この特殊な性質を用いると素因数分解ができるんですね。

自然数や素因数分解については、このリンクから詳しい記事に飛ぶことができます。ぜひ参考にしてみてください?

素因数分解のやり方を早大生が分かりやすく解説!計算問題も付いてます

自然数とは?0や整数との違いは?例題を元に慶應生が解説!

また、上で紹介した定義は少し分かりやすく言い換えることもできます。


自然数とは、正の整数のことです。

約数とは、その数字を割り切ることができる数字のこと。


つまり素数とは、

「1とその数自身でしか、割り切ることができない、正の整数」

と言い換えることもできます。

言葉で理解するときには、どちらかわかりやすい方を選んでください!!

具体的に素数を見てイメージをつかもう!

定義のような文字ばかりの説明じゃ分かりにくいですよね。

ここでは具体的に数字で素数を見てイメージをつかみましょう!

1から10までの数字の中に、

2,3,5,7

の4つの素数があります。

ここでは、素数ではない6と、ラッキーセブンの7を見比べてみましょう。

6の約数は

1,2,3,6


7の約数は

1,7

になります。


素数である条件は、

「自然数」
「約数」が「1」と「その数自身」「のみ」

でしたね。

6の約数は、1と6(その数自身)以外に2と3があるので6は素数ではありません。
7の約数は、1と7(その数自身)のみの2つとなっているので7は素数になります。

約数の◯の中に、1とその数自身のみの2個だけ数字が入っていれば素数ですね!!


最も分かりやすく、シンプルに書くと

「素数とは正の約数が2個のみの数字」

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余談ですが、
6のように、
約数(1,2,3,6)のうち、その数自身(6)を除いたもの(1,2,3)を全て足すと元の数(6)に戻る
という「完全数」なんてのもあります?

1は素数!?

上の文章中で1〜10の数字の中で素数であるのは

2,3,5,7

と説明しました。


「1って、、、、素数じゃないん?」
と思う方もいるのではないでしょうか。

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1が素数ではない理由は、「約数が2つ」ではないからです。
最初は変な感じがしますが、1は素数ではないことを覚えておいてください。

少し難しい書き方の素数の定義では、

「2以上の自然数のうち、正の約数が1と自分自身のみである数字」

と言うものもあります。高校生以上であればこの定義で覚えておくことをおすすめします。

素数か素数ではないかの判定方法紹介◎

ある数が素数であるかどうかを判断したい場合(素数判定と言われます)には、

ある数よりも小さい素数で、ある数が割り切れるかどうか(試し割り)で判断しましょう。

他にも色んな方法がありますが、大学入試までは試し割りで十分です!



割り切れれば素数ではない、割り切れなければ素数です。

シンプルで楽勝!機械的に計算していきましょう!


割る素数の候補として、
2,3,5,7,11,13,17,19
を覚えておきましょう。

また、素数でないけど素数だと勘違いしやすい2桁の数字として
91
が挙げられます。
91=7×13
ですので素数ではありません。注意しましょう⚠



文章だけの説明を見ても、分かりにくいですね。
例題を考えてみましょう!!

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こんな感じです。こんな感じなんです。

割ってみる素数候補の小さい方から順番に試してみる。

2で割ってみる。2がだめなら3で割ってみる。3がだめなら5で割ってみる。


こんなのでいいんです(笑)




でも、この例題の中には意外と大事なことが。


「偶数は2以外は素数ではない」

「3の倍数の見分け方は、各位の数字を足して3で割れるかどうか」
(例題であれば1+4+7=12となり3で割れるから147は3の倍数)

「1の位が5、または0の数字は5の倍数である」


などなど、倍数の見分け方が素数判断に関わってくるわけですね。

様々な素数一覧

大学受験対策で覚えるべき素数一覧

まずは高校受験〜大学受験レベルで覚えておくといい素数を表にしてみました。

1の位を揃えて書いてみましたが、整理の仕方はあなたの自由です。自分なりの素数の整理法を見つけてみてはいかがでしょうか。

一度書いてみるだけで暗記の定着度は全然違います!!☀

つまり、30までの素数

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

の10個です。

実は、この10個の素数の覚え方、

先程の素因数分解の記事で紹介されています!!(すぐ下にもリンクを貼ってます。)

面白くて覚えやすいので、ぜひ見てみてください◎



次は1〜100までの自然数の中で素数だけを書き出してみました。
同じく一の位を揃えましたが、あなたが最も整理しやすい方法で一度書いてみてください。覚えられますよ◎

なんだか100マス計算みたいですね(笑)


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大学入試となると、上のように簡単にはいきません。

素数は整数問題と絡むことが多いので、問題自体の難易度も上がってきます。

厳密な証明を求められるので、重要な性質を確実におさえ、使えるようになっていることが大切です。

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整数問題で素数が出てきた時に、一番最初に思い浮かべなければいけないことは


「定義」


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素数に限らず、

特殊な数字(整数、自然数など)が問題に出てきたときには
まずは「定義」を思い浮かべ、解答欄や問題文のすぐ近くにメモしましょう!

メモしていないと、意外と忘れてしまいますよ!

最も難しく、忘れやすく、イメージを掴みにくいのが、


「素数Aは1,2,3,…(A-1)の全てと互いに素である」


という性質です。


互いに素というのは、

・共通の約数を持たない
・最大公約数が1である

という性質を指します。言い方を数学っぽくしただけです。


素数Aは、1とA以外で割ることはできないので、
Aより小さい数字と共通の約数を持つことはありません。

この性質は忘れてしまうことが多いので要注意です。


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これは素数が英語で

「prime number」

と呼ばれるからです。

素数をPで表したり、「互いに素」という言葉を使いこなせれば、数学に慣れてきた証ではないでしょうか。

性質③は、高校生以上に向けた性質となるのではないでしょうか。
少しややこしい性質です。



「正の約数のが2個のみ」

という素数の条件がありましたね??

正の約数が2個あれば素数なので、負の約数があっても問題ないわけです。
もちろん、負の約数は、正の約数に−を付けた数字になるので負の約数の個数も2個です。

最後は拍子抜けな感じがしますが、

「偶数の素数は2のみ」

という性質です。


これは素数か素数でないかの判断の時に役立ちます!

最大の素数は?

最近新しい素数が発見されました。しかも史上最大の素数です。なんと2324万9425ケタもあり、400字詰め原稿用紙に書き起こすと、5万8000枚近く必要になります。
探査プロジェクト「GIMPS」が、史上最大の素数を発見したと公式サイトで発表しました。
今回発見された数字のコードネームは「M77232917」。2×2×2×2×2...といった具合に、2を7723万2917回掛け合わせた数から1を引いた数です。
とてつもなく大きい数で、想像もつきませんよね。覚えることはできないので頭の片隅にでも入れておいてください

この記事を書いた人
慶應義塾大学 理工学部に通っています。1人旅が趣味で、得意科目は数学と英語です!

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